cargas de variables y concentración de esfuerzos.
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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del
Poder Popular para la Educación Superior
I.U.P “Santiago Mariño”
Extensión Guayana
Escuela 45. Ing. Industrial.
cátedra Elemento de Maquina
Cargas Variables y
Concentración de
Esfuerzos.
Profesor: Autor:
Adriana Arreaza 16.944.162
Puerto Ordaz, Enero del 2018.
Límite de Fatiga
El límite de fatiga es el esfuerzo máximo
invertido que puede ser repetido un número indefinido de veces sobre una
probeta normalizada y pulimentada girando sometida a flexión, sin que se
produzca falla o rotura.
La fatiga es una falla que puede suceder
bajo condiciones bastante inferiores al límite de resistencia de metal u otros
materiales donde la fatiga representa una ruptura de componentes bajo cargas
bien inferior a la carga máxima soportada por el material debido a
solicitaciones cíclicas repetidas.
El límite de fatiga se obtiene realizando
un gran número de veces la prueba de fatiga con valores diferentes de S
(variando el momento flector aplicado). Para cada probeta se ubica una equis en
el diagrama, con el esfuerzo aplicado y el número de vueltas que giró hasta
romperse.
Resistencia
de fatiga
La resistencia
de la fatiga viene expresada por el número de ciclos de cargas que puede
soportar una tensión máxima sin romper.
Las piezas sometidas a cargas variables
pueden diseñarse para un número de ciclos determinado, dependiendo de la vida
requerida. Particularmente, los materiales que no poseen límite de fatiga no se
pueden diseñar para vida infinita, sino que deben diseñarse para una duración
determinada. Entonces, podemos hablar de una “resistencia al fatiga” para vida
finita.
Luego de realizar varias pruebas se
determina que la pieza posee buena resistencia y no demuestra ninguna deformación
o fractura de la misma.
Variación
de Esfuerzo
La variación de los esfuerzos se puede
apreciar cuando una pieza es sometida o bien sea a un cambio de fuerza o posición
con respecto a la carga, los esfuerzos pueden ser máximos o mínimos, alternos o
medios.
En un elemento sometido a cargas
variables, los esfuerzos pueden variar con respecto al tiempo, es difícil
predecir con exactitud cómo es tal variación.
Calculo
de resistencia a la fatiga
El comportamiento a la
fatiga se puede presentar con bastante aproximación a una recta en una representación
logarítmica, llegando a una tensión por debajo de la cual no se produce fallos
por fatiga (sino el nombrado límite de fatiga), para el cálculo de resistencia
se toma en cuenta los aceros y sus aleaciones:
Para aceros de bajo carbono, aleados e
inoxidables, se considera:
Las siguientes ecuaciones se aproximan
entre el límite de fatiga, en MPA, y la dureza en grados brinell (HB) para los
aceros.
Donde los aceros suelen relacionarse
dependiendo su microestructura:
La ecuación para aceros de alta resistencia según
Lessells es:
Donde a y b es
obtenido por la interpolación de los datos de las siguientes tablas:
Concentración
de Esfuerzo
Son discontinuidades de las piezas, tales como, chaveteros, agujeros,
cambios de sección y raduras que producen un aumento localizado de esfuerzo. La
concentración de esfuerzo tiende a afectar a los elementos dúctiles y frágiles sometidos
a cargas variables a pesar de que los materiales puedan ser sensibles.
·
Factores de concentración (vida infinita
Kf):
Es un valor que multiplica el esfuerzo nominal, con el fin de obtener un
valor corregido, donde se tenga en cuenta la discontinuidad donde:
·
Factor de concentración (esfuerzo medio
Kfm):
Es igual a Kf, es un valor que multiplica al esfuerzo nominal con el fin
de obtener un valor corregido, donde se aplican esfuerzos medios a materiales dúctiles:
· Factor de concentración de esfuerzo vida
finita Kff
Es la concentración de esfuerzo sobre la
resistencia de fatiga que varía de acuerdo al número de ciclos:
Sensibilidad
de Entalla
Los materiales se comportan de manera
diferente ante la presencia de una entalla. Los materiales de comportamiento dúctil,
se comportan de manera frágil, es por ello que ante ciertas condiciones de
cargas cíclicas y dinámicas) es importante conocer las características del
material.
Las entallas artificiales son cambios geométricos
en un elemento y no depende de las características o tipo de material. Cuando los
componentes son sometidos a estados de cargas se generan tensiones de algún tipo
(nominales, de corte) en campo de tensión es la proximidad de una entalla.
Efecto
del estado de la superficie sobre la resistencia a la fatiga.
Las superficies de las piezas con relación
a la resistencia tienden a variar dependiendo la condición en la cual están sometidas
o los diferentes intervalos de esfuerzos que se utilizan para ensayar las
piezas.
Esto en gran medida suele depender de la
capacidad del acabado superficial y la resistencia de la tensión, (esmerilado,
maquinado, estirado en frio o a su vez laminado en caliente, forjado), suelen
suelen ser una de las acciones más comunes a las cuales se somete las piezas al
momento de verificar su resistencia ante las pruebas de fatiga.
Influencia
al tamaño sobre la resistencia a la fatiga.
La resistencia a la fatiga varían
dependiendo del forma en que se realice la pieza, su efecto varían dependiendo
el tamaño delas piezas, debido que al aumentar el tamaño, aumenta el volumen y
por ende su resistencia , donde suele aumentar también la formación de grietas,
además, a medida que aumenta el tamaño disminuye el gradiente de esfuerzos y
aumenta el volumen del material sometido.
Ejemplo de calculo de elementos sometidos a fatiga:
EJEMPLO I:
En este primer ejemplo, se trata de
calcular la duración estimada (número de ciclos o vueltas de revolución) de un
eje de giro como el que se muestra en la figura siguiente.
Dicho eje se
encuentra apoyado mediante sendos cojinetes de bolas colocados en los apoyos A
y D, siendo r=5 mm el valor del radio de
acuerdo para el entalle en los cambios de sección del eje.
Para este ejemplo, se
considerará que el eje está fabricado en acero AISI 1050 estirado en frío (Sy = 580 MPa, Su = 690 MPa)
con un acabado superficial a máquina.
A efecto de cálculos, las dimensiones del
eje que aparecen en la figura adjunta están expresadas en mm.
En primer lugar, se va a calcular el valor
de las reacciones que se producen en los apoyos de los cojinetes (apoyos A y
D). Para ello, se establecerán las ecuaciones de equilibrio estático
(equilibrio de fuerzas y de momentos), resultando las siguientes ecuaciones:
• Equilibrio de
Fuerzas: RA + RD =
7500 N
• Equilibrio de
Momentos: RA·720 - 7500·305 =
0
De donde se obtienen los siguientes valores de las reacciones:
RA =
3.177,08 N
RD =
4.322,92 N
Obtenidos los valores
de las reacciones en los apoyos del eje, se puede obtener también la
distribución de la ley de momentos de flexión a lo largo del eje (ver figura
siguiente). Para ello se recomienda consultar el prontuario de esfuerzos y
deformaciones en vigas que se incluye en esta web, para el caso de viga apoyada
en sus dos extremos.
Según la distribución de esfuerzos, el
momento flector máximo en el eje se alcanza en el punto de aplicación de la
carga (1.318,49 m·N), aunque la sección crítica del eje a
fatiga se sitúa en el entalle donde se produce el cambio de sección, en este
caso la sección B, que es la de mayor momento (1.016,67 m·N).
Por otro lado, y de acuerdo a lo visto en
el apartado 3.2 anterior, la resistencia a fatiga teórica del acero se puede
obtener como S'n= 0,5·Su =
0,5·690 = 345 MPa
El anterior valor es el valor de la
resistencia a fatiga de la probeta de acero en el ensayo. Para calcular el
valor de la resistencia a fatiga que se adapte mejor a las condiciones reales
de trabajo de la pieza, habrá que afectar al anterior valor de los correspondientes
coeficientes correctores, que para este ejemplo, y según lo visto también en el
apartado anterior, se expresará como:
Sn =
Ca · Cb · Cc · Cd ·
Ce · S'n
donde,
Sn = límite de
fatiga real de la pieza
S'n = límite de
fatiga teórico de la probeta, que para este caso y tipo de acero vale, S'n = 345 MPa
Ca = coeficiente
por acabado superficial
Cb = coeficiente
por tamaño
Cc = coeficiente
de confianza
Cd = coeficiente
de temperatura
Ce = coeficiente
de sensibilidad a la entalla
A continuación, se calcularán los valores
de los distintos coeficientes correctores del límite de fatiga adaptados a este
ejemplo:
• Coeficiente por acabado
superficial, Ca
Según el diagrama indicado en el apartado
anterior para el cálculo del coeficiente por acabado superficial (Ca), para un valor de la resistencia última
a tracción del acero Su = 690 MPa y
un acabado de superficie maquinado de la pieza, resulta un coeficiente
corrector de:
Ca =
0,75
• Coeficiente por tamaño, Cb
Para casos de flexión y torsión, el
coeficiente por tamaño (Cb) se
calcula utilizando las expresiones vistas también en el apartado anterior, que
para un diámetro del eje d=32 mm (d>10 mm), resulta:
Cb =
0,85
• Coeficiente de confianza o
seguridad funcional, Cc
De acuerdo a lo indicado en el apartado
anterior, si se considera una probabilidad de fallo del 99%, resulta un factor de desviación de valor D=2,3. Con este valor el coeficiente de confianza
resulta finalmente de:
Coeficiente de confianza, Cc = 1 - 0,08·D
= 1 - 0,08·2,3 = 0,82
• Coeficiente por temperatura, Cd
Se supone que para este ejemplo el eje
trabajará siempre a una temperatura de operación por debajo de 70 ºC (158 ºF).
Según lo indicado en
el apartado anterior, si T ≤ 160 ºF, le
corresponde un factor corrector por temperatura de Cd = 1.
• Coeficiente de sensibilidad a la entalla, Ce
En primer lugar, se calcula el coeficiente
de concentración de tensiones (Kt). Para
ello, se hará uso del diagrama que mejor se aproxime al caso que ocupa, según
la tipología de carga y geometría de la pieza, según se ha indicado en el
apartado 2.2.
Para este caso, se empleará el diagrama
D.9 "Barra circular con entalle circunferencial sometida a flexión",
entrando en el diagrama con los siguientes valores:
D/d
= 38/32 = 1,19
r/d
= 5/32 = 0,16
Resultando un coeficiente de concentración
de tensiones (Kt) de valor:
Kt =
1,45
En segundo lugar, a partir de la dimensión
característica del eje (para este caso, se tiene que a = diámetro = 32 mm) y radio de la entalla (r = 5 mm), se calcula el factor de sensibilidad a la
entalla (q), mediante la ecuación ya vista de:
1
|
||
q =
|
||
1 + a/r
|
que sustituyendo
valores resulta,
q =
1/(1+32/5) = 0,14
Conocidos el coeficiente de concentración
de tensiones Kt=1,45 y del
factor de sensibilidad a la entalla q=0,14, se calcula
el coeficiente de concentración de tensiones a la fatiga (Kf) como:
Kf =
1 + q·(Kt - 1) = 1+ 0,14·(1,45-1) = 1,06
Finalmente, el coeficiente de sensibilidad
a la entalla (Ce) se calcula como:
Ce =
1/Kf = 1/1,06 = 0,94
Por lo tanto, obtenido los coeficientes
correctores anteriores, ya se puede obtener el valor de la resistencia a la
fatiga (Sn):
Sn =
Ca · Cb · Cc · Cd ·
Ce · S'n = 0,75 · 0,85 · 0,82 · 1 · 0,94 · 345
= 169,53 ≈ 170 MPa
Con el valor real del
límite de fatiga (Sn) para la pieza de
acero de este ejemplo, se puede construir su diagrama S-N, como se muestra en
la figura adjunta.
Como ya se indicó en el apartado 3.2
anterior, se puede representar con muy buena aproximación el diagrama S-N de
los aceros conociendo dos puntos.
Estos puntos son, por
un lado, su resistencia a fatiga para 103 ciclos
(para este caso, S = 0,9·Su = 0,9·690 = 621 MPa)
y por otro, su límite a fatiga (Sn = 170 MPa)
ya calculado para 106 ciclos (vida infinita).
Por otro lado, se tenía que el valor del
momento flector en el entalle del eje donde se produce el cambio de sección, en
este caso la sección B, es de valor M = 1.016,67 m·N,
obtenido de la distribución de la ley de momentos de flexión a lo largo del
eje.
El módulo resistente a flexión (W) de la sección del eje en ese punto se calcula como:
W =
I/c = (π·d4/64)/(d/2) = (π·3,24/64)/(3,2/2) = 3,22 cm3
Por lo tanto, el valor de la tensión
debido al momento flector en la sección B del eje viene dado por la siguiente
expresión:
M
|
||
σ =
|
||
W
|
que sustituyendo
valores resulta:
σ =
1.016,67 m·N / 3,22·10-6 m3 = 315,74 ≈ 316 MPa
El valor de este esfuerzo es mayor que su
límite a fatiga (σ > Sn = 170 MPa),
por lo que el eje tendrá una vida finita de un determinado número de ciclos,
que se podrá obtenerse de su diagrama S-N.
Por lo tanto y como se indica en la figura
anterior, a partir de la curva S-N se podrá obtener el número de ciclos que
aguanta la pieza sometida a la tensión σ = 316 MPa,
mediante la relación siguiente:
621 - 170
|
=
|
621 - 316
|
log(106) - log(103)
|
log(N) - log(103)
|
Resultando finalmente una duración estimada de la vida del eje de:
N =
105,02882 = 106.861,19 ciclos
EJEMPLO 2:
En este primer ejemplo se trataría de
calcular, aplicando por separado los métodos de Gerber y Goodman, de la
resistencia última (Su) que como mínimo
debería tener una pieza de acero que forma parte de un componente mecánico,
para soportar de manera indefinida una solicitación de carga que induce en la
pieza un estado de tensiones fluctuante.
En este caso, la pieza estaría sometida a
un esfuerzo de flexión variable que originaría un estado de tensiones interno
que fluctuaría entre una tracción en la sección normal de la pieza de 2.500 kg/cm2 y una tensión de
compresión de 1.250 kg/cm2.
En primer lugar, se procede a calcular el
valor de la tensión media (σm), del
valor de la amplitud de la tensión (σa) y del
rango o recorrido de la tensión (σr) para
este caso:
σr =
σmáx - σmín = 2500 - (-1250) = 3.750 kg/cm2
σm =
(σmáx + σmín) / 2 = (2500 + (-1250))/2 = 1250/2 =
625 kg/cm2
σa =
(σmáx - σmín) / 2 = (2500 - (-1250))/2 = 1.875 kg/cm2
Por otro lado, según lo indicado en el
apartado 3.2 de este turorial, para el caso de los aceros se puede suponer con
muy buena aproximación que el límite de fatiga a vida infinita (N=106 ciclos) se puede expresar como: S'n = 0,5·Su
- Según método de
Gerber:
La expresión de la parábola de Gerber es
la siguiente, según lo visto en el apartado anterior:
S'n =
|
σa
|
|
1 - (σm/Su)2
|
Sustituyendo los valores conocidos para
este caso, resulta una expresión de la parábola de:
0,5·Su =
1875 / [ 1 - ( 625 / Su )2 ]
0,5·Su -
( 0,5 · 6252 / Su ) = 1875
0,5·Su2 -
0,5·6252 = 1875·Su
Su2 -
3750·Su - 6252 = 0
Expresión que resulta una ecuación de
segundo grado, donde la resistencia última (Su) sería
la variable a calcular.
Resolviendo la anterior ecuación resulta
que:
Su =
|
3750 ± √ [ (-3750)2 + 4·6252 ]
|
|
2
|
De las dos posibles soluciones a la
ecuación, deberá elegirse aquella de mayor valor para la tensión última (Su), resultando finalmente:
Su = 3.851 kg/cm2
- Según método de
Goodman:
La expresión de la recta de Goodman es la
siguiente, según lo visto en el apartado anterior:
S'n =
|
σa
|
|
1 - (σm/Su)
|
Sustituyendo los valores conocidos para este caso, resulta una expresión de la recta de:
0,5·Su =
1875 / [ 1 - ( 625 / Su ) ]
0,5·Su -
0,5·625 = 1875
0,5·Su =
1857 + 0,5·625
Resultando finalmente, un valor para la
resistencia última (Su), en este caso
aplicando el método de Goodman, de:
Su = 4.375 kg/cm2
Conclusión.
En la mecánica de los materiales se evalúan
los comportamientos de las cargas y diseños de las estructuras que son
sometidas a esfuerzos y deformaciones.
Los esfuerzos que actúan sobre superficies
tienden a variar de acuerdo a la intensidad del momento o esfuerzo al cual están
sometidas, esto a su vez, suelen ocasionar deformaciones visibles o no
visibles, resultado de ensayos o pruebas a las cuales suelen someterse las
piezas (aceros, hierros o aleaciones), ellas poseen o limite determinado de
fatiga ya sea por tamaño o superficie.
Cabe resaltar, que la fatiga en elementos
suele ocurrir en metales cuando los materiales son sometidos a ciclos de
esfuerzos y deformaciones. Se debe tener en cuenta que tan resistente son las
piezas que serán sometidas a grandes esfuerzos y que tan sensibles son ante
cualquier prueba.
Bibliográfia.
Consultas web:
· Rafael Avilés;
"Análisis de Fatiga en Máquinas"; Thomson, 2005.
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